A kurzus a Bolyai-Lobacsevszkij-féle
nem-euklideszi geometriák felfedezéséhez vezető „párhuzamosok
problémájának” történetét, valamint a felfedezés következményeit
tárgyalja matematikatörténeti és –filozófiai szempontokból. A kurzus
során megpróbáljuk rekonstruálni a probléma megoldásával kísérletező
geométer szempontjából a választható módszereket, az elérhető
eredményeket, az egész hátterében meghúzódó fogalmi problémákat, és
végül a felfedezésből fakadó fogalmi valamint „matematikán túli”
döntéseket. A kurzus célja, hogy segítse a hallgatót a választott
módszertani és fogalmi keret szűkőssé válásának, illetve
problémáinak felismerésében, általánosan pedig a reflexív
matematikai gondolkodás fejlesztésében.
A
„párhuzamosok problémája” az ókori matematika történetében I.:
Az euklideszi Elemek. A „párhuzamosok problémája” az
Elemek I. könyvében. Az I. könyv, mint a probléma forrása, és
mint a megoldása: a standard és a Tóth Imre-féle nem-standard nézet.
A
„párhuzamosok problémája” az ókori matematika történetében II: a
PP Euklidész után.
Fogalom és módszer. A „párhuzamosok problémájának” első kommentárjai
és megoldási kísérletei: fogalmi (definíciós) és direkt bizonyítási
kísérletek. Körbenforgás: explicit és implicit (hallgatólagos)
tudás. Módszertani individualizmus.
A középkor.
Az arab tudomány hozzájárulása a „párhuzamosok problémájához”:
az indirekt bizonyítási kísérletek megjelenése. Indirekt bizonyítás
és reductio ad absurdum. Módszer és előfeltevés: kettős
tagadás és kizárt harmadik. Heurisztika és bizonyítás. A felfedezés
kontextusa és az igazolás kontextusa.
Az újkor:
A fizikalista francia és a tiszta német matematika. A matematika
társadalomba ágyazottsága: a „párhuzamosok problémája” mint a
protestáns német szellemi közegek problémája. Kant és a matematikai
megismerés.
A
nem-euklideszi geometriák felfedezése:
A Bolyaiak, Gauss és Lobacsevszkij.
Fogalmi általánosítás, fogalmi kiterjesztés. A fogalmi-terminológiai
rendszerek unicitása vagy pluralitása?
A
nem-euklideszi forradalom.
Viták: az elfogadás és az elutasítás
szempontjai. Ellentmondásmentesség, matematikai igazság, modellek. A
Frege-Hilbert vita.
A nem-euklideszi geometriák
felfedezésének matematikai és filozófiai következményei:
Axiomatikus
matematikai diszciplínák és naiv halmazelmélet a 19. század végén.
Az előadáson szó lesz a geometria és aritmetika század végére
kialakult axiomatikus felépítéséről, a valós számok és a végtelen
matematikai státuszáról, valamint Cantor fontosabb halmazelméleti
eredményeiről.
Paradoxonok, antinómiák és
lehetséges feloldásuk: A
századfordulón megfogalmazott halmazelméleti és szemantikai
paradoxonok kihívására adott két alternatív válasz: a Russell-féle
típuselméleti logika, illetve a halmazelmélet axiomatikus
rendszerének kidolgozása.
Matematikafilozófia és Gödel
tételei:
Áttekintjük a 20. század elején jellemző matematikafilozófiai
irányzatokat, valamint a Gödel tételek tartalmát, matematikai és
filozófiai következményeit. |