Válasz a válaszra, Csaba Ferenc részére Néhány dolognak utána néztem, ez a késés oka. Ezzel kapcsolatban összegyûjtöttem néhány hasznosnak vélhetõ linket a következõ honlapon: http://members.chello.hu/geier.janos/GOEDEL/index.html melyekre a válaszomban is fogok hivatkozni. Az általad adott sorszámok szerint válaszolok. 1. A cikkek paramétereit köszönöm, egyelõre nem találtam meg õket, ha esetleg neked megvannak, szívesen veszem a fénymásolatokat, scanneléseket, vagy ha tudod a magyarországi fellelhetõségüket, azokat az infokat. 2a. A megnevezésrõl.
A Clune féle 1. verzió szemmel láthatóan azonos a "kis játékossal..", de a Lair and Laison féle 2. Verzió - noha bizonyíthatóan ekvivalens vele -, megfogalmazását tekintve ettõl jelentõsen eltér. Ez a 2. verzió döbbenetesen hasonlít a Gödelizációhoz, csak éppen Richardian-nak nevez egy R számot, ha az R-hez rendelet tulajdonság-definíció nem vonatkozik az R számra. (ld. D. Lair and J.Laison Exercise 5 -öt..) Így már érthetõ Abelard értetlenkedése a Richard paradoxonnal kapcsolatban. (Ezzel és az egész témával kapcsolatban érdemes rámenni Abelard honlapjára, többek között a Gödel tételrõl is megvan a véleménye. Abelard információi szerint állítólag a "Richardian"-os megfogalmazás adta az ötletet Gödelnek, ld. Richard.) A két magyar hivatkozás tovább kavarja a megnevezést:
egyöntetûek abban, hogy azt nevezik Richard paradoxonnak, amit
te és mások is Berry paradoxonnak neveznek. Ugyanakkor Kalmár
a "kis játékost..", (azaz a Richard 1. verzióját)
König
Gyulának tulajdonítja.
2b. A gondolatról
Hogy ezt hogyan hívják, csupán egy mellék-kérdésem volt. A fõ kérdésem e kapcsán az volt (vastag betûvel): mi ennek a feloldása. Erre viszont nem kaptam tõled válasz, mintha a megnevezés ("ez a Richard paradoxon") egymagában már mindent elintézne. Ezért ezt itt most tovább részletezem, mert szerintem elég mélyre vezet. A probléma nem önmagában a Richard paradoxon, hanem annak párhuzamba állítása a Cantor -féle átlós eljárással, és a Gödel tétellel (és még mellé lehetne tenni jó néhányat). Nézzük a következõ táblázatot:
(a táblázat két egymás alatti részbõl
áll)
(a táblázat folytatása..)
A fõ kérdés tehát: hogyan oldjuk fel az egyik ill. a másik esetben az ellentmondást. Miért nem alkalmazunk ennek érdekében minden esetben azonos elveket? Abelard szavaival: (198. Pont.) miért nevezzük az Cantor esetét bizonyításnak, és miért a Richardét paradoxonnak. Ugyanezt a kérdést a Gödel tételével kapcsolatban is feltehetjük: R2 és G gondolatmenete tökéletesen ekvivalens. Ennek belátásához elég, ha az "érvényes" szót lecseréljük arra, hogy "levezethetõ", a "tulajdonság-definíció" kifejezést arra, hogy "egy szabad v változót tartalmazó formula", végül a "az n szám Richardian" kifejezést arra, hogy "az n-hez rendelt egy szabad változót tartalmazó formulába n-t helyettesítve, a formula nem levezethetõ". Ha pedig a két gondolatmenet ekvivalens, akkor miért nevezzük az egyiket tételnek, a másikat antinómiának? A "hivatalos" feloldásokban látható a nagyfokú következetlenség: Richardnál az R1 pontot, Cantornál a C2 pontot, vetik el, Richard2- rõl nem ismerek "hivatalos" bírálatot, végül Gödelnél egyiket sem vetik el, helyette azt mondják, hogy a "PM típusú, ellentmondást nem tartalmazó formális rendszer nem kategorikus". Pedig mindegyik UGYANAZT a trükköt alkalmazza: a 3-at, az erõs önhivatkozás trükkjét. Hogyan van ez: egyszer szabad, egyszer nem, aszerint hogy mire vágyunk?
Nézzük részletesebben Mind a négy oszlopban a 4. pontban fogalmazódik meg az
ellentmondás, ennek feloldása a cél.
Látható tehát: Bármilyen megoldást választunk a Richard paradoxon feloldására, ha következetesek akarunk maradni, valamit magával ránt: vagy a Gödelt, vagy Cantort. Nézzük például, mit mond Kalmár a Richard feloldásáról. Szerinte az R1. pont a hibás lépés, mivel a nyelv egy fejlõdõ dolog, és ezért nincs egyszer s mindenkorra adva, miként definiálunk valamely valós számot. ( "A Richard-féle paradoxon ? azon a feltételezésen alapul, hogy az, hogy valamely mondatnak van-e egy nyelven értelme és hogy mi az értelme, többek között, hogy definiál-e egyértelmûen valamely természetes (ill. valós) számot, egyszer s mindenkorra adott valami. Valójában azonban a nyelv is dialektikus jelenség; egy-egy mondatnak az értelme nem egyszer s mindenkorra adott valami, hanem a nyelv fejlõdésének van alávetve." ld. itt.) Ha elfogadjuk Kamlár érvelését, akkor nyilvánvaló, hogy ugyanez a Gödel tétel G1 kiindulópontjára is teljes mértékben alkalmazható (honnét tudhatjuk elõre, hogy mely szövegek alkotnak értelmes kijelentést egy axiómarendszerben?), tehát ekkor a Gödel tétel levezetését nem szabadna elfogadnunk. A Richard paradoxon feloldására más értelmes megoldási javaslatot nem találtam. (Clune megoldási javaslata számomra zavaros.) Nézzük most meg, mit mond Ruzsa a Berry (általa Richardnak) nevezett paradoxonról: "..definíciónak tekinthetünk-e egy olyan szöveget, mely csak az összes többi szöveggel együtt határoz meg egy természetes számot? Mert világos, hogy a 173. oldalon bekeretezett definíció csak akkor ad konkrét számot, ha az összes többi definíciót is ismerjük" (Ruzsa, 1966 178. o). Itt látja a bibit. Vegyük azonban észre, hogy ez persze nemcsak a természetes számokra és a Berry paradoxonra vonatkoztatható, hanem az összes többire is, azaz a C, R, R2 és G oszlopra is. Ez viszont egy figyelemre méltó észrevétel. Ugyanis eszerint R3-at kellene elvetnünk, de akkor C3-at is és G3-at is! Mert mindegyikre érvényes az iménti idézet: a 3 sorban hivatkozott szöveg csak akkor tekinthetõ definíciónak, ha elõtte már ismerjük az összes többi (ide vonatkozó) definíció szövegét. Ismétlem: ez a jellemzõje C3-nak, R3-nak, R2/3-nak és G3-nak egyaránt! Álláspontom: A ellentmondások következetes feloldására nem marad más, mint a 3 sor elvetése minden oszlopban. Ezek mindegyike ugyanaz a típusú erõs önreflexió, ami újradefiniál valamit (egy fogalmat, jelen esetben a konkrét bijektív leképezést), azok után, és arra alapozva, hogy ezt a valamit (azaz a konkrét bijektív leképezést) elõtte már definiáltnak vettük. "Whitehead és Russell szerint az is logikai hiba, ha egy dolog definiálásához felhasználjuk azt a halmaz, amelynek ez az dolog maga is eleme" mondja Kalmár ( ld. Kalmár, 266. o) is és Ruzsa is, és Poincarera hivatkozva impredikatív definícióknak nevezi az ilyeneket, és te is említed ezt az elõzõ válaszodban. Szerintem az impredikatív definíció még nem logikai hiba, és s 3 sorban nem az impredikitivitás okozza az ellentmondást. Akkor mi? Meglátásom szerint a Richard (és Cantor, és Richard2, és Gödel, és Russell és Berry , stb.) antinómiában ott van a logikai hiba, amikor a kérdéses halmaz elemeinek tulajdonságait összekeverjük az elemek definícióinak tulajdonságaival. Pontosabban: maguknak a DEFINÍCIÓKNAK a tulajdonságait használjuk fel az új elem definiálásához, nem pedig a definiált DOLGOK tulajdonságait, mint ahogyan az "normális" esetben szokás. Valamely dolog definíciójának a tulajdonsága nem tulajdonsága a dolognak! Ez a típuskeveredés az, ami az összes fenti antinómia 3. sorában tetten érhetõ: nem lehet tudni, mikor hivatkozunk a dologra, mikor a definíciójára. (Ez nem azonos az impredikatív definíció fogalmával.) Vegyük sorra a 4 oszlopot e tekintetben. Cantor: a C3 lépés a C1-re alapozott következõ 10, egymást páronként kizáró tulajdonságokat használja fel: "az n-hez rendelt valós szám n-edik tizedesjegye k" k=0..9. Csakhogy ezek a tulajdonságok magának a hozzárendelésnek (ha tetszik a definíciónak, hiszen a definíciók valójában hosszabb szövegekhez rendelt rövidebb szövegek, utóbbiak az elõbbiek helyettesítésére szolgálnak, ld. lejebb.) a tulajdonságai, a hozzárendelés során újonnan keletkeztek, és nem eredeti (önálló) tulajdonságai se az n számnak, se a hozzárendelt valós számnak. (Hogy ez így van, tessék csak meggondolni: amíg nincs meg az 1 pontbeli hozzárendelés, addig nem tudhatjuk, hogy pl. a "a 17-hez rendelt valós szám 17. számjegye? " tulajdonságnak mi az értéke.) Amikor a 3 pont szerinti lépést megtesszük, akkor a hozzárendelés tulajdonságaira alapozzuk az újonnan megkonstruált valós számot. Azaz, nem a dolgok (valós számok) tulajdonságaira alapozzuk egy új dolog (valós szám) definiálását, hanem a dolgok definícióinak tulajdonságaira. Itt tehát fennáll a fentebb kifogásolt, elemek és definícióik tulajdonságának összekeverésébõl keletkezett logikai hiba. Richard: Az R3 lépés ugyanaz igaz, mint C3, ezért ezt nem kell részletezni. Richard2: Az R2/3-ban arra alapozva definiáltunk egy új tulajdonságot, hogy a meglévõ tulajdonság-definíciók milyen tulajdonságúak. Nyilvánvaló ugyanis, hogy a "Richardian" tulajdonság a hozzárendelés tulajdonsága, és nem tulajdonsága egymagában se magának az n számnak, se az n-számhoz rendelt szövegnek. Az R2/3 tehát kimeríti a fent kifogásolt típuskeveredést felhasználó logikai hibát. Gödel: Itt mondhatnám egyszerûen azt is, hogy mivel
a Gödel -féle gondolatmenet nem más, mint a Richard2
formalizálása (Ezt maga Gödel is bevallja, majd a Gödel
cikkben a formalizálás sokkal részletesebb és
mélyebb, mint amit a táblázatban leírtam, de
ez nem változtat az alaptényen: mégiscsak a Richard2
formalizálása), ezért erre a Richar2-nél mondottak
érvényesek. Azonban a Gödel tételt "hivatalosan"
nem szokás antinómiának tekinteni, ezért ezt
most önállóan is megvizsgálom.
És végül ide vehetjük a Berry antinómiát is, noha az nem szerepel a táblázatban. Ott ugyebár a Def :=: "legkisebb 100 írásjellel nem meghatározható természetes szám", amirõl szó van, és ezzel kapcsolatos az ellentmondás. Ez a Def meghatározás szintén feltételezi, hogy az összes természetes szám valamilyen formában már meg van határozva, és látható, hogy itt is e meghatározások tulajdonságaira, nem pedig a természetes számok tulajdonságaira épít az idézõjeles szöveg: az, hogy egy szám hány írásjellel határozható meg, nem a szám tulajdonsága, hanem a meghatározásáé. (Rögzített karaktersorozat és rögzített nyelvtan esetén is különbözõ "definíció-rendszereket" képzelhetünk el, és akkor ugyannak a természetes számnak nem feltétlenül lesz ugyanolyon hosszú a definíciója. És ha netán még ügyelünk arra is, hogy viszont e változatok során a legkisebb 100 írásjellel definiálható szám ugyanaz maradjon, akkor bármikor kicserélhetjük a Def meghatározásban 100-at pl. 101-re, , vagy 102-re stb, tehát végül oda jutunk, hogy minden természetes számnak ugyanolyan hosszú kellene, hogy maradjon a definíciójának hossza, bármilyen definíciós rendszerrel fogalmaztuk meg õket. Ezt nehéz elképzelni.) Tehát a Berry antinómiában szereplõ ".." definíció is kimeríti a tipuskeveredés logikai hibát. Megjegyzés: a fenti gondolatmenetekben a definíció
(=meghatározás) és hozzárendelés kifejezéseket
kevertem. Ennek alapja, hogy egy definíció valójában
mindig egy (általában rövidebb) szöveg és
egy másik (általában hosszabb szöveg) egymáshoz
rendelését jelenti. Pl. "n páros szám :=: n
-et kettõvel osztva maradékul 0-t kapunk" A jobb oldali hosszabb
szöveg helyett a bal oldali rövidebb szöveget használhatjuk.
Ha szükséges, akkor bármikor visszahelyettesíthetjük
a rövidebb helyére a hosszabbat. Ha bizonyos karaktersorozatokat
egy-egy értelmûen hozzárendelünk a természetes
számokhoz, akkor ebben az értelemben ez is tekinthetõ
definíciónak: a jobb oldali karaktersorozatokat (valós
számok definíciói Cantor és Richard oszlopban,
tulajdonságok definíciói Richard2 oszlopban, formulák
leírásai Gödel oszlopban) helyettesíthetjük
a megfelelõ n természetes számmal; ez az n lesz a
továbbiakban a jobb oldali formula "neve" (osztály-jele,
class-sign, ahogyan Gödel mondaná).
Megjegyzés: A problémát még jobban sarkíthatjuk a következõképp, pl. a Berry kapcsán (helyette bármelyik antinómiát, vagy akár a Cantor féle átlóst, vagy akár a Gödel tétel bizonyítását is vehetnénk példának). Vegyük észre, hogy a "legkisebb 100 írásjellel?' definíció hivatkozik a természetes számok összes definícióira, tehát saját magára is! Azaz, miközben elkezdjük megfogalmazni, máris hivatkozik saját magára; "saját magát húzza elõ a semmíbõl". Megjegyzés: Ismét más megközelítés:
Vegyük észre, hogy az összes antinómia azzal operál,
hogy ügyesen váltogatja a dolgot és annak megnevezését
(azt, amivel ez a dolog adott esetben helyettesíthetõ!) Egy
definícióval vagy hozzárendeléssel megadott
megnevezés (pl. egy természetes szám is lehet megnevezése
annak, amit õhozzá hozzárendeltek) mindig tekinthetõ
úgy, hogy az valami helyett áll, arra bármikor lecserélhetõ.
Összegezve az eddigieket Tehát a Richard paradoxon léte közvetlenül kérdõjelezi meg a Cantor- féle halmazelméletet és a Gödel tételt egyaránt. A fentiek következményeként a Cantor féle halmazelméletet azért kell elvetni, mert jelenlegi ismereteink szerint nem bizonyítható, hogy a valós számok halmaza nagyobb számosságú, mint a természetes számoké. Ugyancsak nem bizonyítható, hogy valamely végtelen halmaz összes részhalmazainak számossága nagyobb a halmaz számosságánál. Azért nem bizonyítható egyik sem jelenlegi ismereteink szerint, mert az ismert bizonyítások mindegyike a tiltott, önreflexiós, típuskeveredést felhasználó lépést használják fel. Ugyancsak következménye a fentieknek, hogy Gödel tételét is el kell vetni. Ugyanis Gödel (amint arra saját maga is céloz cikkének 1. fejezetében) nem tett mást, mint formalizálta a Richard2 antinómiát. Csupán azt bizonyította be, hogy ha egy formális axiómarendszer alkalmas az olyan mértékû önhivatkozásra, hogy benne a Richard antinómia megfogalmazható - nos hát akkor a Richard antinómia valóban meg is fogalmazható, és fenn is fog állni a belõle származó ellentmondás. (Nagy ügy!) Ha tehát a Richard paradoxon 3. lépését hibás logikai lépésnek minõsítjük, akkor tovább a Gödel tétel levezetése sem állhatja meg helyét. De menjünk tovább? A kellõ mértékû önhivatkozást, "bizonyos értelemben eléggé kifejezõ" megnevezéssel Ruzsa és Urbán is említi, akik csak vázlatosan mutatják be Gödel levezetését, "helyhiányra" hivatkozva (mellesleg a könyv 526 oldalas!). Péter Rózsa : Játék a végtelennel c. könyvében "valamire való" axiómarendszerrõl beszél, amikor Gödel tételét ismerteti. (Mások már "minden rendszerrõl" beszélnek, de az már más kérdés, ld. elsõ, vitaindító hozzászólásomat.) Gödel eredeti cikkét (annak angol fordítását) elemezve arra a meggyõzõdésre jutottam, hogy a "elégé kifejezõ", a "valamire való" a következõt jelenti: a Gödel tétel megfogalmazásához az szükséges, hogy az axiómarendszer formulái EGYBEN OBJEKTUMAI is legyenek e rendszernek. Azaz legyenek olyan formulái, melyeknek szabad változói helyére a rendszerhez tartozó formulákat lehet helyettesíteni, de legalább legyen egy olyan formulája, melynek egyetlen szabad változója helyére az axiómarendszer tetszõleges, szabad változót nem tartalmazó formuláját helyettesítve, e formula alkalmazásával eldönthetõ, hogy a behelyettesített formula levezethetõ-e. Ha egy axiómarendszer ilyen, akkor benne megfogalmazható a Richard2 antinómia, amit Gödel meg is tett, és el is jutott az ellentmondáshoz. Kérdésem ezek után: mi köze ennek az egésznek a matematikához? Mi köze a geometriához, az algebrához, az analízishez, a topológiához, stb.? A geometria objektumai pontok, egyenesek, háromszögek, egyéb síkbeli és térbeli objektumok. Pl. a Pithagorasz tétel ilyenekrõl állít valamit. De maga a Pithagorasz tétel se nem pont, se nem egyenes, se nem egyéb geometriai objektum. Olyan geometriai formula nem létezik, ami magáról a Pithagorasz tételrõl állítana valamit! Ugyanez vonatkozik az algebrára, analízisre, stb. Ezzel kapcsolatos elsõ megjegyzés: Tehát, még ha netán el is fogadnánk (noha, mint a fentiekben kifejtettem, nem elfogadható) szabályos lépésként a Richard trükköt, a Gödel tétel akkor is meglehetõsen elkülönült helyet foglalna el a matematikában. Egyáltalán nem érvényes rá az a széleskörû, a matematika minden ágára (bele értve a formális axiómarendszereket is) kiterjedõ érvényesség, amit sokan tulajdonítanak neki. A matematika különféle ágai között, a halmazelmélet kivételével, nem találunk egyetlen olyat se, amelyet a fenti értelemben "valamire valónak" lehetne nevezni, ugyanis sehol sem találkozunk olyannal, hogy egy axiómarendszer formulái egyben objektumai is legyenek az adott axiómarendszernek. Ennek következményeként azt kell tehát megállapítanunk, hogy Gödel tétele a halmazelmélet kivételével a matematika összes ismert ága esetén egyszerûen nem alkalmazható; a Gödel tétel nem érvényes rájuk. Még egy fontos megjegyzés: De mégha, netán
találkoznánk ilyen önrefelxivitást megfogalmazni
képes rendszerekkel, Gödel tétele ott sem lenne általános
érvényû. Ugyanis Gödel tételét úgy
szokás fogalmazni, hogy "ha egy axiómarendszer ellentmondásmentes,
akkor nem kategorikus", és ez ilyen absztrakt szinten valóban
igaz, ha eltekintünk attól, hogy ez valójában
egy szójáték. Ugyanis a tényleges Gödel
tétel az én értelmezésemben, ahogyan azt Gödel
eredeti cikk alapján én értem, így szól:
"Egy fenti értelemben vett 'valamire való' formális
rendszerben mindig elõállítható egy ellentmondás
a Richard 2 antinómia formalizálása alapján".
A szójáték: ha most feltesszük, hogy a rendszer
(mégiscsak) ellentmondásmentes, akkor nem marad más
hátra, mint eldönthetetlenné nyilvánítani
azt az állítást, ami az ellentmondást okozza.
Így jön ki az a szép fogalmazás, hogy "ha egy
(ilyen és ilyen) axiómarendszer ellentmondásmentes,
akkor nem kategorikus".
3. (most következik a Te 3. pontodra a válasz.) Valóban, én is szt olvastam Gödel cikkének 14. lábjegyzetében. A válaszodban említett "réseket" viszont nem értem. Azt sem értem, hogy akkor ezek szerint mi a Berry, ill. a hazug feloldása, ha az "igaz-hamis" felosztásban nincsenek rések? Mi köze a Berrynek vagy a hazugnak a PA rendszerhez? Inkább maradok a saját, elõbbi álláspontomnál: A dolgok definícióinak tulajdonságai nem tulajdonságai a dolgoknak, ezért adott kategóriába tartozó dolgok definícióinak tulajdonságára hivatkozva nem szabad ugyanezen kategóriába tartozó dolgokat definiálni. 4. Ha senkinek sincs világos elképzelése a "finit"-ségrõl, Hilbert után 100 évvel, akkor jobb, ha el is felejtjük ezt a dolgot. 5. Akkor bocsánat, nem te mondtad, de Kalmár mondja (266. old), Ruzsa mondja. Amit válaszként mondasz, az összecseng azzal, amit fent a 2. pontban mondtam. Ilyesmire gondoltál te is? A prediktivitásról és impredikativitásról mondottakat értem, bár látszik, hogy különféle álláspontok léteznek. Amit én fent a 2 pontban mondtam errõl, ahhoz mit szólsz? Van olyan "mindenki" által elfogadott kritérium, ami tetten éri, ha egy impredikatív definícióban erõs önreflexivitás van? Ami a Peano axiómákat illeti, és úgy gondolom, a természetes számokat NEM a Peano rendszer definiálja, csak leírja (próbálja leírni.) A természetes számokat számomra egy kilométer-óra számlálója írja le, amely potenciálisan végtelen, azaz, ha csupa 999..9-et látok, akkor egy újabb kereket kell hozzárakni. 6. A Paris-Kirby cikkhez még nem jutottam, de amit írsz, abból úgy tûnik, hogy mégiscsak használnak önhivatkozást - ha egyszer Gödel számozást használnak. (Mi másért használnának Gödel számozást, ha azt nem önhivatkozás céljából tennék?) Téziseim Def: (Whitehead, Russell és Poincare nyomán saját megfogalmazásomban) Egy definíciót impredikatívnak mondunk, ha az valamely d dolog definiálásához hivatkozik arra a halmazra (akár a halmaz egészének, akár minden egyes elemének tulajdonságaira), melynek a definiálandó d dolog is eleme. Def: (Saját javaslatom) Egy D definíciót erõsen önreflexívnek mondunk, ha e D definíció (a megfogalmazása során) hivatkozik arra a definíció-halmazra (akár e definíció-halmaz egészének, akár minden egyes elemének tulajdonságaira), melynek õ maga (azaz a megfogalmazandó D definíció) is eleme. T0. Az erõs önreflexivitás iménti fogalma nem azonos az impredikatívitás fogalmával. T1. Egy definíció megfogalmazásakor meg kell különböztetni a definícióban hivatkozott dolgok tulajdonságait e dolgok definícióinak tulajdonságaitól. Az összes ismert antinómia (bele értve ebbe a Cantor féle átlós eljárást és a Gödel tétel levezetését) közös jellemzõje, hogy egy olyan definíciót alkalmaz, melyben ez a két szint összekeveredik Az összes ismert antinómiában közös az erõs önreflexivitás felhasználása T2.. A Richard és a Richard2 antinómia közvetítõ szerepet tölt be az összes többi antinómia (ide értve a Cantor féle átlós eljárást és a Gödel tétel bizonyítását) között. Amíg a Richard és a Richard2 antinómia nincs megnyugtatóan tisztázva (feloldva), addig a Cantor féle átlós eljárás, és a Gödel tétel levezetésének helyessége is megkérdõjelezhetõ. T3. Gödel tétele nem más, mint a Richard2 paradoxon formalizálása. E két antinómiát együtt kell feloldani. --- Ha a Gödel-tételt a fenti kétségek ellenére korrektnek fogadjuk el, akkor is kérdéses annak érvényességi köre: T4. A Gödel tétel nem érvényes az olyan axiómarendszerekre, melyekben a rendszer formulái (kifejezései, állításai, definíciói, stb.) nem lehetnek egyben e rendszer objektumai is. A PM rendszer (és rokonai) kivételével minden ("normális") matematikai rendszer (akár teljesen, akár csak részben formalizált) ilyen. T5. Ha találnánk is olyan matematikai rendszert, melyre a Gödel tétel alkalmazható, azon a rendszeren belül sem lenne ez a tény mindenre kiterjedõ: csak az erõs önhivatkozás alkalmazásakor kapnánk bizonyítottan ellentmondást ill. eldönthetetlen állítást. Az ilyen matematikai rendszer fennmaradó, jelentõs részére (mely részeknél nem használjuk ki az erõs önhivatkozás lehetõségét) a Gödel-tétel nem lenne hatással. (Megjegyzem: ismerem azt az állítást, mely szerint Gödel tétele minden olyan axiómarendszerre érvényes, melyben a természetes számok aritmetikájának axiómarendszerére modell készíthetõ.) Várom a véleményedet Budapest, 2001. május 22. Üdvözlettel: Geier János
|