next up previous
Next: About this document ...

Panelldiszkusszióhoz Szabó Laci féle gondolatébresztő irásra reflexiók:


Alábbiakban a sorszámokat közvetlenül követő idézőjeles részek Szabó Laci irásának megfelelő pontjaira akarnak utalni.


(1) A Feynman idézet stb. azt sugallja, hogy a fizika a matematikára épül, matematika az ő alapozására (halmazelmélet + logika) stb. A hierarchia azonban nem iyen lineáris szerintem:

(i) A halmazelmélet $\to$ logikai alapozás $\to$ halmazelmélet körüli tyuk-tojás (cirkularitás) problémáról már beszéltem az ELTE Szimbolikus Logika Tanszék és Matematikai Kutató közös nyilvánosan meghirdetett szemináriumán.

(ii) Viszont a matematika $\to$ fizika sémájú alapozás sem ilyen lineáris. Itt is van tyuk-tojás cirkularitás: pl. Etesi Gáborral van nyomdában egy cikkünk az I. J. Theor. Physics-nél, melyben azt mutatjuk be, hogy a fizikai ``tér & idő'' elméletek választása döntően befolyásolja a matematika alapjai, matematikai logika stb. területek alapvető arculatát. Ez az elméletválasztás döntően befolyásolja az alapvető válaszokat pl. a Hilbert Programra, Hilbert Problémáira. Például newtoni világképnél radikálisan más a válasz mint általános relativitáselmélet világképnél és megint más a Gödel - Earman - Thorne - Novikov ``Consortium led by Thorne'' - Gott - Deutschh - Hogarth féle tér-idő elméletnél. Az ugynevezett nagypapa pszeudo-paradoxonból ami megmaradt, az a ``consistency constraints'' (konzisztenciális megkötések) -ek keresése, vizsgálata. (Ez előre mutat, nem pedig hátra mint pl. az implicit feltevésektől nyüzsgő nagypapa pszeudo-paradoxon.) Nagyon hasonlókat ir pl. Hogarth egy 2001-es preprintjében és disszertációjában is erről a témáról.


(2) ``Fizikust kell-e érdekelje a matematika alapozása?''

(i) Persze. Aki egy szerszámot használ, jó ha tudja, hogy az hogyan működik. Pl. ha a katona nem tudja, hogy tankját robbanómotor hajtja, akkor semmi kivetnivalót nem lát abban, hogy valaki az épp mozgó tankot leönti rengeteg benzinnel. Ha nem tudom, hogy a köszörűmet szinkron vagy aszinkron motor hajtja, oda juthatok, hogy leég a motor. Példa erre az a számos hibás tétel, amit úgy kapnak, hogy a fizikai világ valamely részéről (aspektusáról) alkotott matematikai modellt érvényességi körén kivül használnak.

(ii) Létezik olyan fizikai gondolatkisérlet, melynek kimenetele attól függ, hogy a ZFC halmazelmélet konzisztens-e. Sőt van olyan fizikai gondolatkisérlet is, melynek kimenetele attól függ, hogy ZFC-nek az a szelete, amelyre fizikai elméleteinket felépitjük, konzisztens-e. (Ez gyengébb feltevés, mint a ZFC konzisztenciája.) Mindez releváns ahhoz is, hogy a fizika alapozásával kapcsolatos un. nominalista program (pl. [Field: Science without numbers c. könyv]) elvben megvalósitható-e.


(3) Az, hogy a matematika csak egy nyelv, nem kicsinyitő, hiszen modern matematikai nyelvészetben nyelveknek nem csak szintaxisa, hanem Tarskiánus modellelméleti szemantikája is van. (Ez már egy gazdag strukturát, sokrétű valamit jelent.) Eszerint egy nyelv az egyben egy logika + modellelmélet. Mégis azt mondom, hogy a matematika több mint egy nyelv.


(4) ``matematikai strukturák benne ülnek a világban vagy mi vetitjük bele?''

Egyik se, illetve picit mindkettő. Kant szellemében: Mi a logikánk segitségével rendet keresünk a világban. Szerencsére találunk is. Ez a rend abban nyilvánul meg, hogy bizonyos matematikai strukturáinkat bele tudjuk vetiteni a világba. Logikus gondolkodásunk során mi teremtjük a matematikai strukturákat és csak olyanokat tudunk a világba belevetiteni, amit már megalkottunk. (Ez pl. René Thom gondolata a matematika szerepéről a tudományokban.) Viszont olyan strukturákat keresünk, amelyek segitségünkre lesznek a világ megértésében direkt vagy indirekt módon. Tehát nem alkot a matematika a világtól teljesen függetlenül mindenféle tetszőleges matematikai struktúrákat. Tehát nem igaz, hogy a matematikus bármit kitalálhat. Viszont az igaz, hogy nagyon sokféle különböző módon alkothat a matematika úgy strukturákat, hogy ezeket jól bele lehessen vetiteni a világba és hasznosan szolgálják a világ megértését. Tehát ebben a nem-nihilista (nem anything goes) értelemben viszont nagymértékű pluralizmus van.

Például a jólfundált halmazelméletre is felépithető a világ megértését kiszolgáló matematika és az ezzel ellenkező nem-jól fundált halmazelméletben is (nem-jól fundált azt jelenti, hogy vannak végtelen a1 eleme a2 eleme a3 eleme ... leszálló láncok). De bizonyos dolgokat egyikben hatékonyabb vizsgálni, másokat a másikban. (Pl. önreferencia, feedback, időutazás az antifundáltban könnyebb.)

Tehát a világ jó megértését kiszolgáló matematikában két szinten is majdnem szabad választás van: (I) alapozás pl. halmazelmélet, vagy kategóriaelméleti alapozás, allegóriaelméleti alapozás, Vopenka-féle semisets (félhalmazelméleti alapozás); (II) még lejjebb: intuicionista alap, hagyományos alapozás, logicista alapozás, formalista alap, Multi-Platonista alap, stb. (III) Eggyel feljebb: A már meglévő alapozás után milyen strukturákat vizsgálunk. Pl. algebrai, geometriai, ``analizis + valami keret'', kategóriaelmélet, modellelmélet, topológia, ezek valamiféle kombinációi. Persze ezen a szinten már nem tök véletlenszerű a választás, mert attól függően, hogy milyen ``rend''-eket (vagy rendszereket, vagy pattern-eket) akarok a világban találni és hogy ebben a világ mennyire kooperativ velem (lehet-e a vilagból jövő élményeket stb. egy bizonyos fajta ``rend''-be kényszeriteni és segit-e ez nekem a világban való tájékozódásban), tehát ezektől függően nagyon fontos lehet, hogy milyen strukturát válasszunk vagy ne válasszunk. Tehát a strukturák választása függ attól, hogy (i) a világ milyen, (ii) a világ megismerésében az a kultura, amelyhez tartozom hol tart (és merre indult el), (iii) kulturám értékrendszere, (iv) milyen srófra jár az agyam tehát milyen logikát használok, (v) kulturámban milyen logikákat használnak (tehát kulturámban milyen srófokra mennek a kollektiv gondolatok), (vi) mik a céljaim.


(5) ``Matematikai objektumok, strukturák ontológiai státusza?''

Ez szerintem az egyik legfontosabb kérdés!

- A Platonizmus a szönyeg alá sepri a problémát. (Tehát szerintem tarthatatlan mert igénytelen, olcsó dolog.)

- Az intuicionizmus szerintem fölöslegesen nyirbál, nem a lényeget célozza meg. Brouwer fő célja Hilbert szép konstrukcióinak betiltása volt. Ez egy rendőr-államiságra emlékeztet.

- A konstruktivizmus még bántóbb rendőr-állam. Szerintem nem szerencsés hozzáállás.

- A formalizmus tök értelmes és jó dolog, de sokszor a szemléletesség rovására megy.

- A kategóriaelméleti strukturalizmus (Makkai Mihály akadémikus közelitésmódja) jó dolognak igérkezik.

Fentiekből már látszik, hogy nem lehet a meglévő ``izmus''-okból könnyen kiválasztani az egyedül üdvözitő ``vallást''. Mindegyik túl hamar eldönti a legfontosabb kérdéseket, mint pl. a matematikai objektumok ontológiai státuszát.

Ez (az ontológiai státusz) egy nagyon fontos, izgalmas és valójában nyitott probléma. Úgy értem, hogy nem nem értjük eléggé ezt a kérdést. Ezen még gondolkodni kell és jó lelkiismerettel csak gondosan kimunkált közelitő (tehát nem kirekesztő) válaszokat tudunk adni.

Fontos példa: A matematika filozófia egyik problémája a Kontinuum Hipotézis (CH). Ez azt kérdezi, hogy van-e a valós számok R halmazának olyan H részhalmaza, hogy H -nak több eleme van, mint az egész számok Z halmazának, de kevesebb, mint R -nek. Tehát |Z|<|H|<|R| elő tud-e állni valamely H halmazra. A Platonisták azt állitják, hogy a matematikai objektumok V világa objektive létezik és ebben a V -ben eldől a fenti kérdés. Persze arra, hogy ez a V hol van és hogyan lehet ``megnézni'' (vagy megtapasztalni, hogy milyen) mélyen hallgatnak. De a matematika feladatának tartják pl. a fenti Kontinuum Hipotézis eldöntését. (Lásd pl. Woodin [Berkeley] iskoláját.) Szerintem ez téves nézet. Ez a példa talán illusztrálja, hogy a meglévő matematika filozofia izmusokkal mi a problémám.

Szerintem a matematika olyan mint egy lego-játék: Egy olyan valami, amivel modellezni tudjuk a világban létező rendszereket. Persze nemlétezőket is tudunk modellezni.

Többit szóban, ontológiáról.


(6) Szerintem egy fontos dolog, amit a matematika tud adni a fizikának, a matematikai logika elmélet fogalma.:

A matematikai logikában van egy nagyon jól kimunkált ``struktúrafajta'', amit logikai elméletnek neveznek. (Ennek sok jól elkülönitett alkatrésze van, amik bizonyos jól meghatározott módon kapcsolódnak egymáshoz.) A matematikai elméletek mind ilyenek.

Osztom azon tudományfilozófusok nézetét, pl. Reichenbach, Carnap, Hempel, Hintikka (2001-beli cikke), Tarski és tanitványa R. Montague stb., akik szerint a fizikai elméleteket is előbb-utóbb ilyen matematikai ``herkentyűk''-ként kéne felfogni (melyeknek a matematikai elméletekhez képest esetleg van még egy két extra elkatrésze). ``Herkentyűn'' itt a matematikai logikai elméletfogalom esetleg extra alkatrészekkel kibővitett verzióját értem. (Egy ilyen elmélet specifikálása kezdődik azzal, hogy megadjuk melyik logikai rendszerben vagyunk, utána kiválasztjuk, hogy annak melyik nyelvét használjuk, stb.)

Ezirányban már Einstein is sokszor leirta, elmondotta, hogy egy fizikai elmélet az nem a világ, nem is a világ egy része, hanem modell a világ egy részéről, amely a világnak csak egy aspektusát (vagy részét) hivatott modellezni; és nem arról szól, hogy mi a világ, hanem hogy milyen, pontosabban mihez hasonló (what is it like) a világ kiválasztott része. Ez viszont teljesen összhangban van azzal, hogy Reichenbach, aki Einstein barátja és munkatársa volt, a matematikai logikai elméletek mintájára javasolta a fizikai elméleteket is felépiteni ([Reichenbach: Axiomatization of the theory of relativity könyv], [Reichenbach: Introduction to symbolic logic, könyv]). Az ilyen tipusú felépités pl. automatikusan kizárná, hogy egy fizikai elmélet matematikai apparátusát az elmélet érvényességi körén kivül alkalmazzák, valamint azt is kizárná, hogy valaki a matematikai szimbolumokat összekeverje a fizikai valósag egyes ``elemei''-vel. Tehát hogy a modellt (matematikai-fizikai elméletet) összekeverje a modellezni kivánt valósággal. (Úgy tudom, hogy fenti nézetet Matolcsi Tamás is támogatja könyveiben, sőt részletesebben kidolgozza.)

Ez azt is kizárná, amit sokan úgy idéznek, hogy valaki úgy használja a matematikát (fizikai problémák megoldásában) mint egyfajta ``fekete mágiát''. Feket mágián olyasmit értek, hogy valaki a matematikát úgy alkalmazza mint egyfajta receptgyűjteményt, amiről nem kell érteni, hogy miért működik, de ``ha itt beszorzunk, itt elosztunk, ezt a tagot elhanyagoljuk, utána mindkét oldalt megintegráljuk, akkor ott kijön a részecske tömege''. De nem lehet tudni, hogy ezt miért pont igy kell csinálni, a fő hogy ez a recept már bevált, ez működik, ezeket a dolgokat igy kell kiszámolni. Ha valaki azt kérdezi ``Miért pont igy?'', akkor a válasz: ``Rossz kérdés.''.

A matematika és fizika kapcsolátaról egyik gondolat, amit támogatni szeretnék az az, hogy nem a fent vázolt ``fekete mágia'' (vagy receptgyűjtemény) mintájára kell ezt csinálni. A matematika egyik legfontosabb célkitűzése az, hogy logikus, érthető, egyértelmű és világos legyen. Ez különbözteti meg a régi görögök óta művelt matematikát a görögök előtti pl. egyiptomi vagy babiloniai matematikától. De ha a diszciplinának ez a lényege (logikus, érthető, egyértelmű, világos, logikai értelemben preciz), akkor nincs értelme ezen lényegtől megfosztva alkalmazni. (Úgy tudom, hogy Matolcsi Tamás iskolája is hasonló gondolatokat képvisel.)



 
next up previous
Next: About this document ...
Laszlo E. Szabo
11/8/2001