Az i.e. 300 körül összeállított matematikai munka a második legtöbb kiadást megért írás az emberiség történetében (ebben csak a Biblia elõzi meg), és évszázadokon keresztül a "helyes" és "tiszta" gondolkodás mintaképe volt. A legtöbb ország iskoláiban még ma is nagy hangsúlyt fektetnek az Elemek geometriájának oktatására, nem is annyira annak hasznossága miatt, hanem inkább azért, mert a mûnek és tartalmának didaktikai erényei vitathatatlanok. Persze az axiomatikus-deduktív matematikai kifejtés eme díszpéldánya nem egyetlen szerzõ munkásságának eredménye, hanem több matematikus-nemzedék erõfeszítéseinek közös gyümölcse, melyet Eukleidész "csak" összegyûjtött, egységes formába öntött és közreadott. A könyv mindenkinek elengedhetetlen olvasmánya kell hogy legyen, aki csak érdeklõdik a matematika története iránt.

Annak érdekében, hogy közelebbrõl megismerkedjünk a matematika történetének egyik (vagy talán "a") legfontosabb munkájával, feladatként ajánlok fel néhány "játékos" elemzést (és persze nyitott vagyok a további ötletekre is). A következõ témák közül lehet választani:

a., A párhuzamosság szerepe az euklidészi geometriában

Minket, magyarokat különösen érint a párhuzamossági axióma hosszú története, hiszen a probléma megoldása részben Bolyai Jánostól származik - a nemeuklideszi geometriák megjelenése a matematika történetének egyik legnagyobb horderejû eseményének számít. Érdemes hát megvizsgálni, hogy a kérdéses axióma (vagyis posztulátum) milyen szerepet tölt be magában a mûben. Az 5. posztulátum eredeti megfogalmazása: "[Követeltessék meg, hogy] ha két egyenest úgy metsz egy egyenes, hogy az egyik oldalon keletkezõ belsõ szögek (összegben) két derékszögnél kisebbek, akkor a két egyenes végtelenül meghosszabbítva találkozzék azon az oldalon, amerre az (összegben) két derékszögnél kisebb szögek vannak." (47. oldal) Feladat: Vizsgáld meg, hogy a híres posztulátum szerkezetileg hogyan épül be a tárgyalt geometriai rendszerbe. Hol használja ki a szerzõ, és milyen mértékben? Mi maradna a vizsgált geometriából, ha nem követelnénk meg ezt a posztulátumot? (Mennyire "euklideszi" Eukleidész geometriája?) - A játék során nyugodtan engedd szabadjára a fantáziádat!

b., A véges mennyiségek matematikája

A matematika 19. századi fejlõdése során az egyik legfontosabb lépésnek azt tekinthetjük, hogy G. Cantor elvetette Eukleidész 8. axiómáját, mely szerint "Az egész nagyobb a résznél" (47. oldal), és így megalapozhatta a végtelen mennyiségek aritmetikáját. Az axióma azoban nem nyilvánítható "tévedésnek" a görögök matematikájában, akik általában irtóztak attól, hogy elismerjék a végtelen létezését. Feladat: Vizsgáld meg, hogy a híres axióma szerkezetileg hogyan épül be a tárgyalt matematikai rendszerbe. Hol használja ki a szerzõ, és milyen mértékben? Hogyan nézne ki a tárgyalt matematikai rendszer, ha nem követelnénk meg ezt a posztulátumot? - A játék során nyugodtan engedd szabadjára a fantáziádat!

c., A görög arányelmélet

Az Elemek egyik legszebb részét az 5. könyv alkotja (150-171. oldal), amelyben a (feltehetõleg) Eudoxosztól származó arányelmélettel találkozhatunk. A könyv önmagában önálló egységet alkot a teljes Elemeken belül, és néhány kiegészítõ definícióval indul. Ezek közül a legfontosabb az 5. definíció: "Azt mondjuk, hogy mennyiségek ugyanazon arányban állnak, az elsõ a másodikkal és a harmadik a negyedikkel, ha az elsõnek és a harmadiknak ugyanannyiszorosai a második és a negyedik ugyanannyiszorosainál, bárhányszoros is a többszörözés, páronként vagy egyszerre nagyobbak, vagy egyszerre egyenlõk, vagy egyszerre kisebbek megfelelõen párosítva õket." (150. oldal) Feladat: Vizsgáld meg, hogy a híres definíció milyen szerepet tölt be az arányelméleten belül. Mennyivel teszi kifejezõbbé az addigi matematikát, és mennyiben változtatja meg azt? Mennyivel szólna a mû "kevesebbrõl" vagy "többrõl", ha ez a definíció nem szerepelne?  - A játék során nyugodtan engedd szabadjára a fantáziádat!

d., A páros-páratlan tana

Szokás azt gondolni (és nem alaptalanul), hogy az Elemek 7., 8. és 9. könyvei (206-279. oldal) viszonylag független egységet alkotnak a mû többi részéhez képest, hiszen itt a geometriai gondolatmeneteket ideiglenesen felváltja egy egységesnek tûnõ aritmetikai értekezés. Ezen belül található az ún. "páros-páratlan tana", amely a IX. 21. Tételtõl a IX. 36. Tételig tejed (271-279. oldal), bár a szükséges definíciók a 7. könyv elején szerepelnek (206. oldal). Ez a rövid rész feltehetõleg az Elemek legrégebbrõl származó részlete, valószínûleg a püthagóreusoktól ered. Feladat: Hasonlítsd össze a "páros-páratlan tanát" az Elemek "rendes" aritmetikájával, mind a forma, mind a tartalom, mind pedig a kifejezõképesség szempontjából. Mennyivel "szegényebb" ez a korai elmélet a késõbbinél? És ami fontosabb, mennyiben sugall egy eltérõ matematika-képet, hozzáálláást, filozófiát?

Segédirodalom

Az Elemekhez írt bevezetõ Szabó Árpád tollából, valamint:
Neugebauer, O.: Egzakt tudományok az ókorban (Gondolat, 1984)
van der Waerden, B. L.: Egy tudomány ébredése (Gondolat, 1977)
Szabó Á.: A görög matematika kibontakozása (Magvetõ, 1978)
Szabó Á.: A görög matematika (Magyar Tudománytörténeti Intézet, 1997)
Tóth Imre: Isten és geometria (Osiris, 2000)
stb.